位运算，是CSP-J中常考的东西。
今天，一个帖子讲透。
一、位运算符
C++ 提供了按位与（&）、按位或（| ）、按位异或（^）、取反（~）、左移（<<）、右移（>>）这 6 种位运算符。 这些运算符只能用于整型操作数，即只能用于带符号或无符号的 char、short、int 与 long 类型。
（1）按位与运算符（&）
“a&b”是指将参加运算的两个整数a和b，按二进制位进行“与”运算。
运算规则：0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1; 即：两位同时为“1”，结果才为“1”，否则为0
例如：3&5 即 0000 0011& 0000 0101 = 0000 0001 因此，3&5的值得1。
另，负数按补码形式参加按位与运算。
按位与&比较实用的例子：
1、比如我们经常要用的是否被2整除，一般都写成 if(n % 2 ＝＝ 0) 可以换成 if((n&1) ＝＝ 0)
2、按位与运算可以取出一个数中指定位。例如：要取出整数84从左边算起的第3、4、5、7、8位，只要执行84 & 59,因为84对应的二进制为01010100，59对应的二进制为00111011，01010100 & 00111011= 00010000 可知84从左边算起的第3、4、5、7、8位分别是0、1、0、0、0。
3、清零。如果想将一个单元清零，使其全部二进制位为0，只要与一个各位都为零的数值相与，结果为零。
按位与应用举例1:
整数幂：判断一个数n ，是不是2的整数幂。比如：64＝2^6,所以输出“yes”,而65无法表示成2的整数幂的形式，所以输出“NO”。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int n;
cin>>n;
if(n&(n-1))cout<<"NO";
else cout<<"Yes";
}
按位与应用举例2:
计算一个数的二进制中1的个数:
算法1：通过与初始值为1的标志位进行与运算，判断最低位是否为1；然后将标志位左移，判断次低位是否为1；一直这样计算，直到将每一位都判断完毕。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int n = 0,num;
unsigned int flag = 1;
cin>>num;
while(flag)
{ if(num & flag) n++;
flag = flag << 1;
}
cout<<n;
}
算法2：还有一种方法，一个整数减一，可以得到该整数的最右边的1变为0，这个1右边的0变为1。对这个整数和整数减一进行与运算，将该整数的最右边的1变为0，其余位保持不变。直到该整数变为0，进行的与运算的次数即为整数中1的个数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int n = 0,num;
unsigned int flag = 1;
cin>>num;
while(num)
{ num = num & (num - 1);
n++;
}
cout<<n;
}
（2）按位或运算符（|）
参加运算的两个对象，按二进制位进行“或”运算。
运算规则：0|0=0； 0|1=1； 1|0=1； 1|1=1；
即 ：参加运算的两个对象只要有一个为1，其值为1。
例如:3|5 即 00000011 | 0000 0101 = 00000111 因此，3|5的值得7。
另，负数按补码形式参加按位或运算。
按位或 （|） 比较实用的例子
可以用一个unsigned int 来存储多个布尔值。比如一个文件有读权限，写权限，执行权限。看起来要记录3个布尔值。我们可以用一个unsigned int也可以完成任务。
一个数r来表示读权限，它只更改个位来记录读权限的布尔值 00000001 (表示有读权限) 00000000 (表示没有读权限)
一个数w表示写权限，它只用二进制的倒数第二位来记录布尔值 00000010 (表示有写权限) 00000000 (表示没有写权限)
一个数x表示执行权限，它只用倒数第三位来记录布尔值 00000100 (表示有执行权限) 00000000 (表示没有执行权限)
那么一个文件同时没有3种权限就是 ~r | ~ w | ~ x 即为 00000000，就是0
只有读的权限就是 r | ~w | ~x 即为 00000001，就是1
只有写的权限就是 ~r | w | ~x 即为 00000010，就是2
一个文件同时有3种权限就是 r | w | x 即为 00000111，就是7
（3）按位异或运算符（^）
参加运算的两个数据，按二进制位进行“异或”运算。
运算规则：0 ^ 0=0； 0 ^ 1=1； 1^ 0=1； 1^1=0；
即：参加运算的两个对象，如果两个相应位为“异”（值不同），则该位结果为1，否则为0。
下面重点说一下按位异或,异或 其实就是不进位加法,如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。
异或的几条性质:
1、交换律:a ^ b=b ^ a
2、结合律:(a ^ b) ^ c == a^ (b ^ c)
“异或运算”的特殊作用：
（1）使特定位翻转: 例：X=10101110，使X低4位翻转，用X ^ 0000 1111 = 1010 0001即可得到。
（2）与0相异或，保留原值 ，10101110^ 00000000 = 1010 1110。
（3）对于任何数x都有――自反性:x^ x=0，x^ 0=x 例如：A^B ^ B = A
（4）交换二个数：a =a ^ b; b = b ^ a; a = a ^ b;
按位异或应用举例1:
给出 n 个整数，n 为奇数，其中有且仅有一个数出现了奇数次，其余的数都出现了偶数次。用线性时间复杂度、常数空间复杂度找出出现了奇数次的那个数。
【输入样例】
9
3 3 7 2 4 2 5 5 4
【输出样例】
7
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int i,n,m,a;
cin>>n;
cin>>a;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{cin>>m; a^=m; }
cout<<a<<endl;
}
按位异或 应用举例2:
1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现
一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空
间，能否设计一个算法实现？
解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+…+1000的和。
这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。
解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。
将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^…^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int i,n,a[11]={1,2,5,3,4,5,6,7,8,9,10};
n=a[0]^a[1];
for(i=2;i<=10;i++)n=n^a[i];
for(i=1;i<=10;i++)n=n^i;
cout<<n;
}
按位异或 应用举例3:
一系列数中,除两个数外其他数字都出现过两次,求这两个数字,并且按照从小到大的顺序输出.例如 2 2 1 1 3 4.最后输出的就是3 和4
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000];
int main()
{ int n;
scanf("%d", &n);
int x = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); x ^= a[i]; }
int num1 = 0, num2 = 0;
int tmp = 1;
while(!(tmp & x)) tmp <<= 1;
cout<<tmp<<endl;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(tmp & a[i]) num1 ^= a[i];
else num2 ^= a[i];
}
printf("%d %d\n", min(num1, num2), max(num1, num2));
return 0;
}
（4）按位取反运算符（~）
按位取反运算符（~）是指将整数的各个二进制位都取反，即1变为0，0变为1。
例如，~9＝－10，因为9（00001001）所有位取反即为（11110110），这个数最高位是1，所以是补码。补码还原成反码（反码等于补码减1）得到（11110101），再还原为原码（反码到原码最高位不变，其它各位取反）等于（10001010）， 十进制为－10。
（5）按位左移运算符（<<）
左移运算符是用来将一个数的各二进制位左移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负值），其右边空出的位用0填补，高位左移溢出则舍弃该高位。
在高位没有1的情况下，左移1位相当于该数乘以2，左移2位相当于该数乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。
但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。
例如：143<<2 结果为60 因为143转换为进制为10001111，左移2得00111100 ，结果为60。
（6）按位右移运算符（>>）
右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负值），移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0。对于有符号数，某些机器将对左边空出的部分用符号位填补（即“算术移位”），而另一些机器则对左边空出的部分用0填补（即“逻辑移位”）。
注意：对无符号数,右移时左边高位移入0；对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移入0。
如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的
系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移位；移入1的称为“算术移位”。
例： a的值是八进制数113755：
a:1001011111101101 （用二进制形式表示）
a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)
a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)
在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C
编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1，左面移入高位的是1。
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{ int a=0113755; printf("%d",a>>1);}
（7）位运算优先级
总的来说比较低，逻辑运算符和数学运算符出现在同一个表达式中，那么需要用括号来表达运算次序。
（8）复合赋值运算符
位运算符与赋值运算符结合，组成新的复合赋值运算符，它们是：
1、&= 例：a &=b 相当于a=a& b
2、|= 例：a |=b 相当于a=a |b
3、>>= 例：a >>=b 相当于a=a>> b
4、<<= 例：a<<=b 相当于a=a<< b
5、^= 例：a ^= b 相当 a=a ^b
运算规则：和前面讲的复合赋值运算符的运算规则相似。
（9）不同长度的数据进行位运算
如果两个不同长度的数据进行位运算时，系统会将二者按右端对齐，然后进行位运算。
以“与”运算为例说明如下：如果一个4个字节的数据与一个2个字节数据进行“与”运算，右端对齐后，左边不足的位依下面三种情况补足：
（1）如果整型数据为正数，左边补16个0。
（2）如果整型数据为负数，左边补16个1。
（3）如果整形数据为无符号数，左边也补16个0。
（10）下面列举一些常见的二进制位的变换操作
综合练习
题目出自洛谷 P2114 [NOI2014] 起床困难综合症
有兴趣的可以试试。
直接上代码了：
#include<bits/stdc++.h>
int n,m,ans,x,a1=0,a2=-1;
char str[5];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
while(n--){
scanf("%s%d",str,&x);
if(str[0]=='A') a1&=x, a2&=x;
if(str[0]=='X') a1^=x, a2^=x;
if(str[0]=='O') a1|=x, a2|=x;
}
for(int j=29;~j;--j){
if(a1>>j&1) ans+=1<<j;
else if(a2>>j&1&&(1<<j)<=m) ans+=1<<j, m-=1<<j;
} printf("%d",ans);
return 0;
}
拜拜！
d