一元二次方程是一个有且仅有一个未知数且未知数的最高次数为两次的方程，例如：
- x^2+2x+1=0，这就是一个明显的一元二次方程，有一个未知数 x ，它的最高次项也是 x^2
- (x+2)(x+3)=1，看似 x 的最高次项就是 x ，但是！！！，这需要在化简后再判断！ 化简结果为 x^2+5x+6=0 ，这就是一个明显的一元二次方程
接下来来举一些反例：
- x^2+\large\frac{1}{x^2}=1，其中分母中含有未知数，就是分式方程（分母中含有未知数就是）。
- x^2-x^2+2x+1=0，化简后 x^2 项被消掉了，于是它就不是一元二次方程
一元二次方程的基本形式如下：ax^2+bx+c=0(a≠0)，其中的 a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。
接下来给大家讲解一下如何解一元二次方程（除方法1以 (2x+3)^2=1 为例，其余皆以 (2x+2)(x+3)=0 为例）：
- 直接开平方法：
此法仅适用于形如 x^2=a 或 (kx+b)^2=c 的方程，直接开平方根后可以直接用解一元一次方程的方法解这个方程。
左右两边同时开平方，得 2x+3=1 或 2x+3=-1 ，解得 x_1=-2,x_2=-1
Tips：如果 a>0 或者 c>0，那么就应该有两个解，切记不要漏解~ - 配方法：
此法是将方程配成形如 x^2=a 或 (kx+b)^2=c 的形式，然后用方法1求解，具体步骤如下：- 将方程化为基本形式（如果已经是基本形式则跳过）
展开此方程，得 2x^2+8x+6=0 - 将 a 化为 1 （如果本来就是 1 则跳过）
两边同除以 a，得 x^2+4x+3=0 - 把常数项移项到右边
移项，得 x^2+4x=-3 - 方程两边同时加上一次项系数一半的平方
得 x^2+4x+4=-3+4 - 左边化成完全平方式，右边变成一个数
化简，得 (x+2)^2=1 - 利用方法一求解，解得 x_1=-3,x_2=-1
- 将方程化为基本形式（如果已经是基本形式则跳过）
- 公式法：
此法是直接利用公式求解，简单粗暴，是配方法的拓展。在此我不多说，直接上公式的证明过程：
∵ax^2+bx+c=0（已知）
∴x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0（等式的基本性质2）
∴x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}（等式的基本性质1）
∴x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}（等式的基本性质1）
∴\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}（逆用完全平方公式）
∴\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}（分式的基本性质）
∴\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}（分式的加减运算法则）
∴x+\frac{b}{2a}=±\sqrt\frac{b^2-4ac}{4a^2}（等式的基本性质3）
∴x=-\frac{b}{2a}±\sqrt\frac{b^2-4ac}{4a^2}（等式的基本性质1）
∴{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}（分式的性质1）
- 十字相乘法：
实质是利用以下规律快速解题：
若 ab=0 且 a，b \in R，则 a=0 或 b=0
利用以上规律，可以快速得到 (2x+2)(x+3)=0 的解为 2x+2=0 的解和 x+3=0 的解，解得 x_1=-3,x_2=-1
接下来来谈谈二次韦达定理，不多说，也直接证明：
∵ax^2+bx+c=0的解x为\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}（已知）
∴x_1 \times x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
∴x_1 \times x_2=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}
∴x_1 \times x_2=\dfrac{c}{a}
∵ax^2+bx+c=0的解x为\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}（已知）
∴x_1 + x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
∴x_1 + x_2=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}
x_1 \times x_2=\dfrac{c}{a} 和 x_1 + x_2=-\dfrac{b}{a} 便是二次韦达定理的形式 ，在综合题中经常出现，必须牢记（或者直接套公式证明）
一元二次方程就浅谈到这里吧，byebye~