7.12日总结.fjx

今日学习内容:倍增与ST表

知识点总结

倍增

在 C++ 里,倍增是一种很实用的算法思想,其核心是借助不断翻倍的方式,在对数时间内达成原本需要线性时间才能完成的操作。下面为你介绍几个常见的应用场景:

1. 快速幂运算

快速幂运算是倍增思想的典型应用,它能够高效地计算出 a^n 的值,时间复杂度仅为 O (log n)

code

int fastPow(int a, int n) {
    int res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 1) {
            res = res * a;
        }
        a = a * a;
        n = n / 2;
    }
    return res;
}

在上述代码中,我们把指数 n 按二进制进行分解,对于每一位为 1 的部分,就将对应的幂次累乘到结果里。

2. 最近公共祖先(LCA)

在处理树结构问题时,利用倍增法可以在预处理后,以 O (log n) 的时间复杂度快速找到两个节点的最近公共祖先。

code

const int MAXN = 100005;
const int LOGN = 20; // 足够处理2^20个节点

vector<int> adj[MAXN];
int parent[MAXN][LOGN]; // parent[u][k] 表示节点u的第2^k个祖先
int depth[MAXN];

void dfs(int u, int p) {
    parent[u][0] = p;
    depth[u] = depth[p] + 1;
    for (int k = 1; k < LOGN; k++) {
        parent[u][k] = parent[parent[u][k-1]][k-1];
    }
    for (int v : adj[u]) {
        if (v != p) {
            dfs(v, u);
        }
    }
}

int lca(int u, int v) {
    if (depth[u] < depth[v]) swap(u, v);
    // 让u和v处于同一深度
    for (int k = LOGN-1; k >= 0; k--) {
        if (depth[u] - (1 << k) >= depth[v]) {
            u = parent[u][k];
        }
    }
    if (u == v) return u;
    // 同时向上跳跃
    for (int k = LOGN-1; k >= 0; k--) {
        if (parent[u][k] != parent[v][k]) {
            u = parent[u][k];
            v = parent[v][k];
        }
    }
    return parent[u][0];
}

该算法先通过预处理构建出每个节点的第 2^{k} 级祖先,之后借助二进制分解来实现快速跳跃。

3. 稀疏表(Sparse Table)

稀疏表常用于解决静态区间的最值查询问题(RMQ),其预处理时间为 O (n log n),查询时间为 O (1)

code

const int MAXN = 100005;
const int LOGN = 20;

int arr[MAXN];
int st[MAXN][LOGN]; // st[i][k] 表示区间[i, i+2^k-1]的最小值

void build() {
    int n = 100000; // 假设有n个元素
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        st[i][0] = arr[i];
    }
    for (int k = 1; k < LOGN; k++) {
        for (int i = 0; i + (1 << k) <= n; i++) {
            st[i][k] = min(st[i][k-1], st[i + (1 << (k-1))][k-1]);
        }
    }
}

int query(int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    int k = 31 - __builtin_clz(len); // 计算k = log2(len)
    return min(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);
}

稀疏表的原理是利用倍增思想,把每个区间分解成两个长度为 2^k 的子区间,进而实现高效查询。

核心思想总结

倍增法的核心在于:

  1. 预处理出 2^k 规模的信息。
  2. 利用二进制分解,将大问题转化为多个小问题进行求解。
  3. 最终把时间复杂度从 O (n) 优化到 O (log n)

这种算法思想在处理各种需要快速查询或递推的场景中都十分有效。

ST表

在 C++ 中,ST 表( Sparse Table )是一种用于高效处理静态区间查询问题的数据结构,特别适合解决区间最值查询( RMQ, Range Minimum/Maximum Query )问题。它的核心思想是倍增动态规划,通过预处理实现 O (n log n) 的时间复杂度,查询则可达到 O (1) 的时间复杂度。

原理与结构

ST 表的核心是利用动态规划预处理出所有长度为 2 的幂的区间的信息。对于数组arr,定义st[i][k]表示从位置i开始,长度为 2^k 的区间的最值。例如:

  • st[i][0] 就是 arr[i](区间长度为 1)
  • st[i][1] 是区间 [i, i+1] 的最值(长度为 2)
  • st[i][2] 是区间 [i, i+3] 的最值(长度为 4)
  • 以此类推…

预处理过程

预处理时,我们通过动态规划递推公式:

st[i][k] = min(st[i][k-1], st[i + 2^(k-1)][k-1])

即把长度为 2^k 的区间拆成两个长度为 2^{k-1} 的子区间,取它们的最值。

查询过程

查询区间[l, r]时,找到最大的k使得 2^k ≤ r-l+1,然后用两个重叠的长度为 2^k 的子区间覆盖原区间:

  • 第一个区间从l开始,长度为 2^k
  • 第二个区间以r结束,长度为 2^k

这两个子区间的最值的组合即为原区间的最值。

代码实现

下面是 ST 表处理区间最小值查询(RMQ)的完整代码:

code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;
const int LOG = 20; // 处理2^20 = 1e6范围内的数据

int arr[MAXN];
int st[MAXN][LOG]; // st[i][k]表示区间[i, i+2^k-1]的最小值
int log2_table[MAXN]; // 预计算log2的值,加速查询

// 预处理ST表和log2_table
void build(int n) {
    // 预处理log2_table
    log2_table[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        log2_table[i] = log2_table[i/2] + 1;
    }
    
    // 初始化st[i][0]
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        st[i][0] = arr[i];
    }
    
    // 动态规划构建ST表
    for (int k = 1; k < LOG; k++) {
        for (int i = 0; i + (1 << k) <= n; i++) {
            st[i][k] = min(st[i][k-1], st[i + (1 << (k-1))][k-1]);
        }
    }
}

// 查询区间[l, r]的最小值
int query(int l, int r) {
    int len = r - l + 1;
    int k = log2_table[len];
    return min(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int main() {
    int n, q;
    cin >> n; // 输入数组长度
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> arr[i];
    }
    
    build(n); // 预处理
    
    cin >> q; // 输入查询次数
    while (q--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r; // 查询区间[l, r](下标从0开始)
        cout << query(l, r) << endl;
    }
    
    return 0;
}

使用示例

假设有数组 [4, 6, 1, 5, 7, 3],预处理后可以快速查询任意区间的最小值:

  • 查询区间[1, 3](即[6, 1, 5])的最小值为1
  • 查询区间[0, 5](整个数组)的最小值为1

复杂度分析

  • 预处理时间O(n log n)
  • 查询时间O (1) (每个查询)
  • 空间复杂度O(n log n)

ST 表的局限性在于只能处理静态数据(即预处理后不能修改数组),且不适合需要频繁更新的场景。对于动态数据,可以考虑使用线段树等其他数据结构。

1 个赞

:+1:

不错,超了(

Markdown 怎么如此标准!

image

大胆,居然敢抄袭!

我是在这个网站上编辑的
@我命由我不由天

没有你的 \LaTeX 不标准,但是 Markdown 很标准,我是说。

我不知道这两个的区别

感觉像是AI生成的(只是感觉,就算是AI生成的也很棒)

我感觉也想 AI

xixi,代码是AI的,文字是我的

我就说嘛,怎么马蜂跟 AI 一样

救救我!!!

我懒得自己写代码了