关于数的加法和乘法做成交换环，我们称之为高斯整数环。另外，将高斯整数环推广到的情形，称为高斯整数环的推广环。
高斯整数环是一种构造特殊且具有一定代表性的环 ，在代数环论中占有重要的地位 。既融入了环论的思想，同时亦包含有数论的思想，对于高斯整数环的研究一直是国内外学者的重要课题之一，数学家们通过多年的研究，得出了许多重要且富有意义的结论。
高斯整数环的定义和基本性质
高斯整数环Z[i]是指所有形式为a+bi的复数，其中a和b都是整数，i是虚数单位。这个集合在复数的加法和乘法下构成一个环，称为高斯整数环。
高斯整数环的证明过程
- 封闭性：对于任意两个高斯整数
a+bi和c+di，它们的和(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i仍然属于Z[i]，这证明了加法运算在高斯整数环中是封闭的。 - 结合律：加法和乘法都满足结合律，这是基于复数运算的基本性质2。
- 单位元和逆元：0是高斯整数环的零元，每个非零元素
a+bi都有逆元-a-bi，这保证了高斯整数环是一个群2。 - 分配律：加法和乘法满足分配律，这是复数运算的基本性质2。
- 半群性质：乘法构成一个半群，即乘法满足结合律，且乘法的结果仍然在高斯整数环中2。
高斯整数环的数学性质
高斯整数环Z[i]是一个欧几里得环，这意味着对于任意两个非零元素a和b，存在一个轭元素使得它们的最大公约数可以通过欧几里得算法计算出来3。此外，高斯整数环中的单位元素是{1, -1, i, -i}，即所有模为1的复数3。
通过以上证明过程，我们可以确认高斯整数环Z[i]是一个具有特定数学结构的集合，它在复数的加法和乘法下构成一个环。