动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种用于解决多阶段决策问题的算法设计技术，由美国数学家理查德·贝尔曼在20世纪50年代提出。其核心思想是将复杂问题分解为更简单的子问题，并通过递归地求解这些子问题来找到最优解。
动态规划的基本概念
- 阶段和阶段变量：将问题划分为若干个相互关联的阶段，每个阶段包含若干个状态。阶段变量表示决策过程的发展顺序。
- 状态和状态变量：描述某一阶段的初始位置或状况，状态变量用于表示当前阶段的状态。
- 决策和决策变量：在每个阶段根据当前状态做出的选择性行动，决策变量是阶段允许的决策集合。
- 策略和最优策略：策略是指从第一阶段到最后一个阶段的所有决策过程，最优策略是从所有可能的策略中找出最优效果的策略。
- 状态转移方程：描述前一阶段的状态在做出某种决策后，产生新状态的方程。
动态规划的三个基本条件
- 子问题重叠性：同一子问题可能被多次求解，需要存储已解决子问题的结果以避免重复计算。
- 无后效性：每个阶段的状态只依赖于当前状态，而与之前的状态无关。
- 最优子结构：全局最优解可以通过局部最优解组合得到。
动态规划的求解步骤
- 定义最优解决方案的结构：明确问题的最优解结构，确定需要求解的子问题。
- 递归地定义最优解决方案的值：通过递归关系式定义最优解的值。
- 计算最优解决方案的值：从底层开始计算最优解的值，避免重复计算。
- 构建最优解决方案：基于计算所得的信息构建最终的最优解。
动态规划的应用
动态规划广泛应用于组合优化问题、资源分配、生产计划编制等领域。例如，在背包问题中，通过动态规划可以高效地找到最大价值组合；在最短路径问题中，动态规划可以用来计算最短路径。
动态规划的优缺点
优点：
- 能够有效处理复杂问题，将指数级时间复杂度降低到多项式级。
- 适用于具有最优子结构和重叠子问题的问题。
缺点：
- 对分析者经验和判断能力要求较高。
- 当维数过大时，可能会导致内存消耗较大，甚至无法解决。
动态规划的实际应用案例
- 编辑距离：用于计算两个字符串之间的最小编辑操作次数。
- 最长公共子序列：用于找出两个序列的最长公共子序列。
- 0-1 背包问题：用于解决背包容量有限时如何选择物品以最大化价值。
总之，动态规划是一种强大的算法设计技术，通过将复杂问题分解为更简单的子问题并存储结果来实现高效求解。
