本算法最初由 @wangchenyi 发明，时间复杂度为 O(\dfrac{n}{\log_2n}) ，常数巨大，大约 100 倍常数。原帖在这 ，我帮他做了格式上的优化。
算法思路和时间复杂度证明
以下方便起见，令 p 为质数序列（ p_1=2, p_2=3,\dots ）， m(n) 为小于 n 的质数个数， w(n) 为小于 n 的非完全合数。
本算法主要是通过递推跳过“完全合数”。完全合数和非完全合数定义如下： 对一个合数 n ，令
c=c(n) 为最大的整数使 \prod\limits_{i=1}^cp_i<n ，若存在 k(1\le k\le c) ，使 p_k\mid n ，则称 n 为完全合数，否则为不完全合数。
由代码中的递推找到所有质数和非完全合数只需 O(m + w) （请注意 \displaystyle\sum\limits_{k=1}^\infty\prod\limits_{i=1}^k\dfrac{1}{p_i}<\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k(k-1)}=2 )。而之后我们可以通过 O(w) 的时间复杂度来找到所有非完全合数，再用 O(\sqrt{n}+w) 的时间复杂度来排序，然后是 O(m+w) 的输出。
现在此算法时间复杂度为 O(m + w + \sqrt{n}) = O(\dfrac{n}{\log_2n} = O(m)) ，故时间复杂度为 O(m + w) 。
下证： \lim\limits_{n\to\infty}m+w=\dfrac{n}{\log_2n} 。
（以下等于号 = 按等价理解）
由定义， \displaystyle m + w = n \times \prod\limits_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i}) 。
令 \displaystyle T = T(n) = \prod\limits_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i}) ，我们证明 T < \dfrac{e^2}{\log_2n} ： \log_2T = \displaystyle \sum\limits_{i=1}^m\log_2(1-dfrac{1}{p_i}) ，由 \log_2(1-x) 的解析性，知它的泰勒级数收敛于它本身，故：
\begin{aligned}\log_2T&=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{kp_i^k}\ &=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k} \end{aligned}
我们估计 \begin{align} \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{p^{k}_{i}} \end{align} 的量级，显然，对于任意的 k \ge 2 ，
\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^m&\le\sum\limits_{i=2}^{m+1}\dfrac{1}{i}\
&<\int_1^{m+1}\dfrac{1}{x^k}\mathrm dx\
&=\dfrac{1}{k-1}(1-\dfrac{1}{(m+1)^{k-1}})\
&<\dfrac{1}{k-1}
\end{aligned}
故
\begin{aligned}\log_2T&=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{kp_i^k}\ &=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k}\ &<\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i}+1 \end{aligned}
即
\begin{aligned}\log_2T&=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k}\ &=\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k}+\theta_n(0<\theta_n<1) \end{aligned}
我们只需估计 \displaystyle \sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i} ，由熟知结论，
\displaystyle \sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i}>\log_2\log_2n-1 ，故
\log_2T<\log_2\log_2n+2 ，即 T<\dfrac{e^2}{\log_2n} ，故 O(m + w) = O(Tn) = O(\dfrac{n}{\log_2n}) ，我们证明了此算法的时间复杂度绝不可能改进，后人只能优化常数（是的，常数非常大），证毕。