以下方便起见，令 p 为质数序列（$p_1=2, p_2=3,\dots$），$m(n)$ 为小于 n 的质数个数，$w(n)$ 为小于 n 的非完全合数。
本算法主要是通过递推跳过“完全合数”。完全合数和非完全合数定义如下： 对一个合数 $n$，令 c = c(n) 为最大的整数使 $\prod\limits_{i=1}^cp_i<n$，若存在 $k(1\le k\le c)$，使 $p_k\mid n$，则称 n 为完全合数，否则为不完全合数。
由代码中的递推找到所有质数和非完全合数只需 $O(m + w)（请注意 \displaystyle \sum\limits_{k=1}^\infty\prod\limits_{i=1}^k\dfrac{1}{p_i}<\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k(k-1)}=2$）。而之后我们可以通过 O(w) 的时间复杂度来找到所有非完全合数，再用 O(\sqrt{n}+w) 的时间复杂度来排序，然后是 O(m + w) 的输出。
现在此算法时间复杂度为 $O(m + w + \sqrt{n}) = O(\dfrac{n}{\log_2n} = O(m))$，故时间复杂度为 $O(m + w)$。
下证：$\lim\limits_{n\to\infty}m+w=\dfrac{n}{\log_2n}$。
（以下等于号 = 按等价理解）
由定义，$\displaystyle m + w = n \times \prod\limits_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i})$。
令 $\displaystyle T = T(n) = \prod\limits_{i=1}^m(1-\dfrac{1}{p_i})$，我们证明 $T < \dfrac{e^2}{\log_2n}： \log_2T = \displaystyle \sum\limits_{i=1}^m\log_2(1-dfrac{1}{p_i})，由 \log_2(1-x)$ 的解析性，知它的泰勒级数收敛于它本身，故：
$$\begin{aligned}\log_2T&=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{kp_i^k}\
&=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k}
\end{aligned}$$
我们估计 \displaystyle \sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k} 的量级，显然，对于任意的 $k\ge2$，
$$\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^m&\le\sum\limits_{i=2}^{m+1}\dfrac{1}{i}\
&<\int_1^{m+1}\dfrac{1}{x^k}\mathrm dx\
&=\dfrac{1}{k-1}(1-\dfrac{1}{(m+1)^{k-1}})\
&<\dfrac{1}{k-1}
\end{aligned}$$
故
$$\begin{aligned}\log_2T&=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{kp_i^k}\
&=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k}\
&<\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i}+1
\end{aligned}$$
即
$$\begin{aligned}\log_2T&=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k}\
&=\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i^k}+\theta_n(0<\theta_n<1)
\end{aligned}$$
我们只需估计 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i}，由熟知结论，\displaystyle \sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i}>\log_2\log_2n-1$，故 $\log_2T<\log_2\log_2n+2$，即 $T<\dfrac{e^2}{\log_2n}$，故 $O(m + w) = O(Tn) = O(\dfrac{n}{\log_2n})$，我们证明了此算法的时间复杂度绝不可能改进，后人只能优化常数（是的，常数非常大），证毕。
