组合
求 \sum_{i=0}^{\infty} C_{n k}^{i k+r} 模 p 的值。
这道题题目非常的善良，直接把式子送给我们了，那我们直接开始推式子：
\begin{array}{c}\sum_{i=0}^{\infty} C_{n k}^{i k+r} \\=\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{w} C_{w}^{j} \times C_{n k-w}^{i k+r-w+j} \\=\sum_{j=0}^{w} C_{w}^{j} \sum_{i=0}^{\infty} C_{n k-w}^{i k+r-w+j} \\\text { 令 } w=k \\\sum_{j=0}^{k} C_{k}^{j} \sum_{i=0}^{\infty} C_{(n-1) k}^{i k+r-k+j} \\\text { 令 } f(n, r)=\sum_{i=0}^{\infty} C_{n k}^{i k+r} \\f(n, r)=\sum_{j=0}^{k} C_{k}^{j} f(n-1, r-k+j)\\\text {接着我们再来分析}n=1\text {的情况}\\f(n, r)=\sum_{j=0}^{k} C_{k}^{j} f(n-1,(r+j) \% k) \\f(1, r)=\left(r==0 ? 2: C_{k}^{r}\right)\end{array}
那么这道题目就水落石出了，先用杨辉三角预处理一遍，预处理一遍组合数，在去推 f 数组就好了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,p,k,r,C[105][105];
int f[1005][1005];
int zuhe(int n,int r)
{
if(n==1)return r==0?2:C[k][r];
if(f[n][r])
return f[n][r];
int sum=0;
for(int i=0;i<=k;i++)
sum+=(LL)C[k][i]*zuhe(n-1,(r+i)%k)%p,sum%=p;
return f[n][r]=sum%p;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&k,&r);
for(int i=0;i<=k;i++)//杨辉三角预处理
{
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%p;
}
printf("%d\n",zuhe(n,r));
return 0;
}
但是，你会发现这个代码 RE 了。所以我们需要使用一下矩阵快速幂优化，我就不多说了，上代码。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int P,K,R;
long long N;
struct matrix
{
int n,m,a[51][51];
matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
matrix operator * (const matrix &c)const
{
matrix res;
res.n=n;
res.m=c.m;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<c.m;j++)
for(int k=0;k<m;k++)
res.a[i][j]=(res.a[i][j]+1LL*a[i][k]*c.a[k][j]%P)%P;
return res;
}
}a,b;
void quick_pow(matrix x,long long y)
{
while(y)
{
if(y&1)
a=a*x;
x=x*x;
y>>=1;
}
}
int main()
{
cin>>N;
scanf("%d%d%d",&P,&K,&R);
N=1LL*N*K;
a.n=1;
a.m=K;
a.a[0][0]=1;
b.n=b.m=K;
for(int i=0;i<K;i++)
{
b.a[i][i]++;
b.a[i][(i+1)%K]++;
}
quick_pow(b,N);
printf("%d",a.a[0][R]);
return 0;
}